学习指导
1.学习了相似三角形的性质后，对于涉及到相似三角形对应角平分线、对应中线、对应高、周长的问题，应立即联想到相似三角形对应线段的比等于相似比，等于周长的比的性质.举例如下.
［例1］如图1，已知△ABC∽△A′B′C′，点D、D′分别是BC、B′C′的中点，AE⊥BC于E，A′E′⊥B′C′于E′.求证：∠DAE＝∠D′A′E′.
分析：欲证∠DAE＝∠D′A′E′，只需证Rt△ADE∽Rt△A′D′E′即可.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，BD＝CD，B′D′＝C′D′， AE⊥BC，A′E′⊥B′C′.
图1
∴ (相似三角形对应高的比、对应中线的比等于相似比).
∴Rt△ADE∽Rt△A′D′E′.
∴∠DAE＝∠D′A′E′.
［例2］已知如图2，△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，
BC＝6，AC＝8，△A′B′C′的周长为72.求△A′B′C′各边的长.
图2
解：在Rt△ABC中，AB＝ ＝10.
∴△ABC的周长＝6＋8＋10＝24.
∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′，
∴ .
即 ∴A′B′＝30， B′C′＝18，C′A′＝24.
说明：由已知条件知△ABC∽△A′B′C′，已知△ABC各边的长，要求△A′B′C′各边的长，只要求出相似比即可.
［例3］如图3，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，且AB＝18，AC＝12，AD＝8，CE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F.
(1)求 的值；
(2)求证：CE＝CD.
分析：由题设可知，DF、CE分别为△ACD和△ABC的高，
因此只要证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求得 .
(1) 解：∵AB＝18，AC＝12，AD＝8，
∵∠AEC＝∠AFD＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△ACD
∵CE⊥AB，DF⊥AC.∴ .
(2)证明：∵Rt△ABC∽Rt△ACD，∴∠BAC＝∠CAD.
∵CE⊥AB，CD⊥AB，∴CE＝CD.
［例4］已知，如图4，△ABC中，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E.求证：BC2=DE(AB+BC+AC)
分析：由OD∥AB，OE∥AC知△ODE∽△ABC，要证结论中有△ABC的周长，从而想到了利用相似三角形的周长比等于相似比证题.
证明：∵OD∥AB
∴∠4=∠ABC，∠1=∠3
又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BD=OD
同理可证：OE=CE
∵OE∥AC，∴∠5=∠ACB，∴△ODE∽△ABC
∴ 即
∴BC2=DE(AB+BC+AC)
说明：相似三角形的性质较多，究竟选择哪个性质，需要根据结论的特征灵活选择.
［例5］求证：相似三角形的面积比等于相似比的平