不等式的证明(一）

教学目标

　　1．掌握证明不等式的方法——比较法；

　　2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．

教学重点  比较法的意义和基本步骤.

教学难点  常见的变形技巧.

教学方法  启发引导式.

教学过程

    （－）导入新课

　　（教师活动）教师提问：根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数 与 的大小？．

　　（学生活动）学生思考问题，找学生甲口答问题．

　　（学生甲回答： ， ， ，）

　　［点评］（待学生回答问题后）要比较两个实数 与 的大小，只要考察 与 的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．（板书课题）

　　设计意图：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．

　　（二）新课讲授

　　【尝试探索，建立新知】

　　（教师活动）教师板书问题（证明不等式），写出一道例题的题目

　　[问题] 求证

　　教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．

　　（学生活动）学生研究证明不等式，尝试完成问题．

　　（得出证明过程后）

　　［点评］

　　 ①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．

　　 ②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．

　　 ③理论依据是：

　　  ④由 ， ，知：要证明 只要证 ；要证明 这种证明不等式的方法通常叫做比较法．

　　设计意图：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．

　　【例题示范，学会应用】

　　（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．

　　例1 求证

　　（学生活动）学生在教师引导下，研究问题．与教师一道完成问题的论证．

　　［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得 ，将此式看作关于 的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．

　　证明：∵

　　＝

　　＝ ，

　　∴ ．

    ［点评］

　　①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号．

　　 ②作差后，式于符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定．

　　 ③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断．

　　变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少．至于怎样变形，要灵活处理，例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．

　　 例2  已知都是正数，并且 ，求证：

　　［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．

　　证明：

　　＝

　　＝ ．

　　因为 都是正数，且 ，所以

．

　　∴                         ．

　　即：                      

　　[点评]

　　 ①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号．

　　 ②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法．

　　 ③例2的结论反映了分式的一个性质（若都是正数．

　　1．当 时，

　　2．当 时， ．以后要记住．

　　设计意图：巩固用比较法证明不等式的知识，学会在用比较法证明不等式中，对差式变形的常用方法——配方法、通分法．

　　【课堂练习】

　　（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．

　　[字幕]

　　练习：1．求证

　　2．已知 ， ， ，d都是正数，且 ，求证

　　（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．

　　 设计意图，掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

　　【分析归纳、小结解法】

　　（教学活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结用比较法证明不等式的解题方法．

　　（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

　　比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法．用比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断符号．要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形．

　　 设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的方法．

　　（三）小结

　　（教师活动）教师小结本节课所学的知识．

　　（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

　　本节课学习了用比较法证明不等式，用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．掌握求差后对差式变形的常用方法：配方法和通分法．并在下节课继续学习对差式变形的常用方法．

　　 设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

　　（四）布置作业

　　1．课本作业：P16．1，2，3．

　　2．思考题：已知 ，求证：

　　3．研究性题：设 ， ， 都是正数，且

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